Критерий Фридмана: полное руководство с формулой, таблицей и примером

Критерий Фридмана нужен, когда вы измеряете один и тот же показатель у одних и тех же людей не два, а три и более раз — например, до тренинга, сразу после и через месяц. Вилкоксон тут уже не подходит, а данные — баллы или ранги.

В этом руководстве разберём всё по порядку: что измеряет критерий Фридмана, когда он подходит, его формула, как ранжировать значения по условиям, разобранный пример с расчётом χ²r и частые вопросы.

Если нужно просто посчитать — воспользуйтесь онлайн-калькулятором критерия Фридмана. А здесь — теория, чтобы уверенно защититься.

🧮Онлайн-калькулятор критерия ФридманаПосчитайте свои данные за пару минут — нажмите, чтобы открыть→

Что такое критерий Фридмана

Критерий Фридмана (χ²r, англ. Friedman test) — это непараметрический статистический критерий, который проверяет, значимо ли различаются показатели при трёх и более замерах у одних и тех же испытуемых. Простыми словами, он отвечает на вопрос: «Меняется ли результат от условия к условию или разброс случаен?»

По сути это обобщение критерия Вилкоксона на 3+ условия. Если Вилкоксон сравнивает два замера, то Фридман — три, четыре и больше: повторные измерения во времени или несколько условий, через которые проходит каждый испытуемый.

Метод ранговый: он работает не с самими числами, а с их рангами внутри каждого испытуемого, поэтому не требует нормального распределения.

Когда применяется критерий Фридмана

Критерий подходит, когда выполнены все условия:

1. Связанные (зависимые) замеры — одни и те же испытуемые измерены в трёх и более условиях или в несколько моментов времени.
2. Три и более условий (k ≥ 3). Для двух замеров берут критерий Вилкоксона.
3. Данные — баллы, оценки, ранги либо числовые измерения с ненормальным распределением.

Для трёх и более независимых групп (разные люди) Фридман не подходит — там нужен критерий Краскела-Уоллиса.

Чем критерий Фридмана отличается от соседних методов

Главная путаница — в том, связанные у вас замеры или независимые, и сколько их.

• Вилкоксон — связанные замеры, ровно 2 (до/после у одних людей).
• Фридман — связанные замеры, 3 и более (те же люди в нескольких условиях).
• Краскел-Уоллис — независимые группы, 3 и более (разные люди).

Таблица 1 — Как выбрать критерий по числу замеров и типу выборок

Если коротко: одни и те же люди в 3+ условиях — ваш выбор Фридман. Подробное сравнение с парным методом — в статье «Фридман или Вилкоксон».

Гипотезы критерия

• H₀ (нулевая): различий между условиями нет, распределение значений по условиям случайно.
• H₁ (альтернативная): хотя бы между двумя условиями есть достоверные различия.

Если расчёт показал значимость (p < 0,05) — принимаем H₁: различия между условиями реальны.

Формула критерия Фридмана

Считать вручную не обязательно — всё делает калькулятор. Но для понимания и для защиты полезно знать суть.

Эмпирическое значение χ²r вычисляется по формуле:

χ²r = [12 / (n·k·(k + 1))] · Σ R_j² − 3·n·(k + 1)

где n — число испытуемых, k — число условий (замеров), R_j — сумма рангов по j-му условию (по столбцу).

Число степеней свободы: df = k − 1.

Значимость есть, когда χ²r ≥ χ²_крит для df = k − 1, или когда p < 0,05.

Алгоритм расчёта: как считать вручную

Разберём шаги подробнее:

1. Ранжирование по строкам. Для каждого испытуемого ранжируем его k значений по условиям: самому маленькому — ранг 1, самому большому — ранг k. Одинаковым значениям присваиваем средний ранг.
2. Суммы рангов. Складываем ранги отдельно по каждому условию (по столбцу) — получаем R₁, R₂, …, R_k.
3. Подстановка. Подставляем суммы рангов, n и k в формулу χ²r.
4. Критическое значение. Берём χ²_крит из таблицы хи-квадрат для df = k − 1.
5. Сравнение. Если χ²r ≥ χ²_крит — различия между условиями значимы.

Разбор примера с расчётом

Психолог замерил концентрацию внимания у 6 студентов в трёх условиях: утром, днём и вечером (баллы по тесту). Нужно проверить, различается ли внимание по времени суток.

Здесь n = 6 испытуемых, k = 3 условия. Ранжируем значения внутри каждой строки (1 — наименьший балл, 3 — наибольший) и складываем ранги по столбцам.

Таблица 2 — Расчёт критерия Фридмана: баллы (и ранги по строке) по трём условиям (n = 6, k = 3)

Суммы рангов по столбцам: R₁ = 7 (утро), R₂ = 12 (день), R₃ = 17 (вечер). Проверка: сумма всех рангов равна n·k·(k+1)/2 = 6·3·4/2 = 36, и 7 + 12 + 17 = 36 — сходится.

Считаем Σ R_j²:

Σ R_j² = 7² + 12² + 17² = 49 + 144 + 289 = 482

Подставляем в формулу (n = 6, k = 3):

χ²r = [12 / (6·3·4)] · 482 − 3·6·4
χ²r = (12 / 72) · 482 − 72
χ²r = 0,1667 · 482 − 72
χ²r = 80,33 − 72 = 8,33

Степени свободы: df = k − 1 = 2. Критическое значение χ²_крит для df = 2 равно 5,99 (p ≤ 0,05). Сравниваем: 8,33 ≥ 5,99 → различия значимы (p < 0,05).

Видно, что суммы рангов растут от утра к вечеру — концентрация внимания в этой группе выше вечером.

Вывод для диплома: «Концентрация внимания статистически значимо различается в зависимости от времени суток (χ²r = 8,33; df = 2; p < 0,05): суммы рангов растут от утра (R = 7) к вечеру (R = 17)».

Что делать после значимого результата: постхок

Критерий Фридмана говорит лишь, что различия где-то есть, но не уточняет, между какими именно условиями. Если результат значим, проводят постхок — попарные сравнения условий критерием Вилкоксона с поправкой на множественные сравнения (например, поправкой Бонферрони: делят порог 0,05 на число пар).

Как интерпретировать результат и что писать в дипломе

Главный показатель — p-значение (подробнее в статье «Что такое p-значение»):

• p < 0,05 — различия между условиями статистически значимы;
• p > 0,05 — значимых различий нет.

В тексте укажите: сам критерий, эмпирическое χ²r, число степеней свободы df = k − 1, число испытуемых n и p, а также медианы по каждому условию (для непараметрических методов описывают медианой, а не средним).

Критерий Фридмана в SPSS, Excel и онлайн

• В SPSS: «Анализ» → «Непараметрические критерии» → «Связанные выборки» → выбрать критерий Фридмана. Программа выдаст χ²r, df и p-значение.
• В Excel готовой функции нет — считают вручную по шагам выше (ранжирование по строкам, суммы по столбцам) или через надстройки.
• Онлайн проще всего: калькулятор критерия Фридмана сам проранжирует значения по строкам, посчитает суммы рангов и χ²r, возьмёт критическое значение по df и выдаст готовый вывод.

Частые ошибки

• Применять Фридмана к независимым группам. Для 3+ групп из разных людей нужен Краскел-Уоллис.
• Ранжировать по столбцам, а не по строкам. В Фридмане ранги расставляют внутри каждого испытуемого (по строке), а суммируют по условиям (по столбцу).
• Сравнивать пары без поправки. После значимого Фридмана попарные сравнения делают с поправкой на множественность.
• Описывать результат средним. Для рангового метода правильнее приводить медианы по условиям.
• Брать Фридмана для двух замеров. Для двух связанных замеров достаточно критерия Вилкоксона.

Частые вопросы

Что измеряет критерий Фридмана простыми словами?

Есть ли различия между тремя и более замерами у одних и тех же людей: меняется ли показатель от условия к условию или разброс случаен.

Чем критерий Фридмана отличается от Краскела-Уоллиса?

Фридман — для связанных замеров (одни люди в нескольких условиях), Краскел-Уоллис — для независимых групп (разные люди). Подробнее — в руководстве по Краскелу-Уоллису.

Сколько нужно испытуемых и условий?

Условий минимум три (k ≥ 3). Испытуемых — желательно 6 и больше: при очень малых n критерий теряет чувствительность.

Что делать, если Фридман показал значимость?

Провести постхок: попарные сравнения условий критерием Вилкоксона с поправкой на множественные сравнения.

Какой параметрический аналог у критерия Фридмана?

Дисперсионный анализ с повторными измерениями (repeated-measures ANOVA). Его берут, когда данные числовые и распределены нормально. Разница параметрических и непараметрических методов — в отдельной статье.

Короткий алгоритм

1. Убедитесь, что замеры связанные и их 3 и более.
2. Проранжируйте значения каждого испытуемого по строке (1…k).
3. Сложите ранги по каждому условию → суммы R_j.
4. Посчитайте χ²r по формуле, сравните с χ²_крит для df = k − 1.
5. При значимости — постхок Вилкоксоном с поправкой.

Что ещё почитать

• Калькулятор критерия Фридмана — посчитать свои данные онлайн.
• Руководство по критерию Вилкоксона — парный случай (2 замера) и постхок.
• Руководство по критерию Краскела-Уоллиса — аналог для независимых групп.
• Фридман или Вилкоксон — какой критерий выбрать.
• Параметрические и непараметрические критерии — как выбрать тип метода.

Итог

Посчитать свои данные за пару минут можно в калькуляторе критерия Фридмана — он сам проранжирует значения, посчитает χ²r и оформит вывод. Полный список методов — в базе методов, а если нужна вся статистика под ключ — поможет консультация эксперта.