Q-критерий Кохрена: несколько связанных долей

Вы проверяли одних и тех же людей не два раза, а три или больше — и каждый раз фиксировали только «да/нет»: справился с заданием или нет, сдал норматив или нет, проявился симптом или нет. Нужно доказать, что доля «успехов» по этапам меняется не случайно.

Для этой ситуации есть специальный инструмент — Q-критерий Кохрена. Разберём, когда он нужен, как считается и что писать в дипломе.

В двух словах

Q-критерий Кохрена проверяет, одинакова ли доля «успехов» в трёх и более связанных замерах бинарного (да/нет) признака у одних и тех же испытуемых.

• Это обобщение критерия Макнемара (тот сравнивает только два замера «да/нет») на три и больше точек.
• По логике это «брат» критерия Фридмана, только Фридман — для баллов и рангов, а Кохрен — строго для ответов «0 или 1».
• Отдельного калькулятора Кохрена у нас пока нет, но расчёт элементарный (формула ниже), а для родственных задач используйте критерий Фридмана и хи-квадрат.

Когда применять Q-критерий Кохрена

Все условия должны выполняться вместе:

1. Признак бинарный — ровно два исхода, которые кодируются как 1 («успех», «есть») и 0 («неудача», «нет»).
2. Три и больше замеров одного и того же признака. Для двух замеров берут критерий Макнемара — частный случай Кохрена.
3. Замеры связаны — это одни и те же испытуемые на каждом этапе (или каждый прошёл все условия).
4. Полные данные — у каждого человека есть результат во всех замерах (пропуски обычно удаляют целиком по человеку).

Пример. 30 школьников выполняли упражнение на координацию трижды за семестр: в сентябре, ноябре и декабре. Каждый раз — «выполнил норматив» (1) или «не выполнил» (0). Один и тот же бинарный признак, три связанных замера → Q-критерий Кохрена.

Типичные задачи, где он встречается: динамика навыка по этапам тренировки, доля правильных ответов теста до/в процессе/после обучения, наличие симптома на нескольких визитах, успешность функциональной пробы при разных нагрузках.

Что именно проверяет критерий

Гипотезы формулируются так (подробнее — в статье про нулевую и альтернативную гипотезы):

• H₀ — доля «успехов» одинакова во всех замерах (различия случайны).
• H₁ — хотя бы в одном замере доля «успехов» отличается.

Если получили значимый результат (p < 0,05), вы отклоняете H₀ и говорите: доля справившихся по этапам меняется не случайно.

Как считается: формула и пример

Соберите данные в таблицу: строки — испытуемые, столбцы — замеры, в клетках только 0 или 1. Понадобятся три набора сумм.

• k — число замеров (столбцов).
• Gⱼ — сумма единиц в каждом столбце (сколько «успехов» на данном этапе).
• Lᵢ — сумма единиц в каждой строке (сколько раз данный человек был успешен).
• N — общая сумма всех единиц в таблице.

Формула Q-критерия Кохрена:

Q = k·(k − 1)·[ Σ Gⱼ² − N²/k ] / [ k·N − Σ Lᵢ² ]

Простыми словами: в числителе — насколько «разъезжаются» суммы по столбцам (этапам), в знаменателе — поправка на то, что разные люди в целом успешны по-разному. Чем сильнее доли по этапам отличаются друг от друга, тем больше Q.

Готовое значение Q сравнивают с критическим по таблице хи-квадрат при числе степеней свободы df = k − 1. Если Q больше критического (или p < 0,05) — различия значимы.

Покажем на маленьком примере. Пусть 8 спортсменов выполняли пробу на трёх этапах; в таблице 1 — кто справился (1), кто нет (0).

Таблица 1 — Результаты пробы «справился/не справился» у 8 спортсменов на трёх этапах

Подставляем: k = 3; Σ Gⱼ² = 2² + 5² + 8² = 4 + 25 + 64 = 93; N = 15; Σ Lᵢ² = 2² + 1² + 3² + 2² + 1² + 2² + 3² + 1² = 4+1+9+4+1+4+9+1 = 33.

• Числитель: 3·2·(93 − 15²/3) = 6·(93 − 75) = 6·18 = 108.
• Знаменатель: 3·15 − 33 = 45 − 33 = 12.
• Q = 108 / 12 = 9,0.

Степеней свободы df = k − 1 = 2. Критическое значение хи-квадрат при df = 2 и p = 0,05 равно 5,99. Наше Q = 9,0 > 5,99 → различия значимы, доля справившихся по этапам растёт не случайно (p < 0,05).

На рисунке 1 хорошо видно, почему критерий «сработал»: доля успехов поднимается от этапа к этапу.

Что после Кохрена: попарные сравнения

Значимый Q говорит лишь, что различия где-то есть. Чтобы понять, между какими этапами, сравнивают замеры попарно — для двух связанных «да/нет» замеров это критерий Макнемара.

Но есть ловушка: чем больше пар вы проверяете, тем выше шанс случайно «найти» различие. Поэтому уровень значимости ужесточают — например, поправкой Бонферрони (делят 0,05 на число сравнений). Подробно — в статье про множественные сравнения и поправку Бонферрони.

Пример. Q значим, этапов три → три пары (1–2, 2–3, 1–3). С поправкой Бонферрони считаем различие значимым, если p < 0,05 / 3 ≈ 0,017, а не привычные 0,05.

Что писать в дипломе

В тексте обязательно укажите критерий, значение Q, число степеней свободы и p-значение (что это такое — в статье «Что такое p-значение»):

• p < 0,05 — доля «успехов» по этапам меняется статистически значимо;
• p > 0,05 — значимых изменений нет.

Готовые формулировки:

• «Доля спортсменов, справившихся с пробой, статистически значимо различается между тремя этапами (Q = 9,0; df = 2; p < 0,05)».
• «Статистически значимых изменений доли успешных ответов по трём замерам не выявлено (Q = 1,8; df = 2; p = 0,41)».

К выводу полезно приложить сами доли (или проценты) «успехов» на каждом этапе — так читатель сразу видит направление динамики. Как корректно подать числа, описано в статье «Как описать результаты статистики».

Частые ошибки

• Применять к баллам, а не к «да/нет». Кохрен только для бинарного признака. Если у вас баллы анкеты или нормативы в секундах — это критерий Фридмана.
• Считать Кохрен для двух замеров. Для двух связанных «да/нет» замеров берут критерий Макнемара (Кохрен — его обобщение на 3+).
• Путать связанные и независимые группы. Если на этапах разные люди, Кохрен неприменим — нужен хи-квадрат.
• Останавливаться на значимом Q. Сам Q не показывает, какие пары этапов отличаются — нужны попарные сравнения с поправкой.
• Кодировать признак как 1 и 2 вместо 0 и 1. Формула рассчитана на коды 0/1; другая кодировка ломает расчёт.

Частые вопросы

Чем Кохрен отличается от критерия Фридмана?

Оба — для трёх и более связанных замеров. Но Фридман работает с баллами и рангами (например, уровень тревожности в баллах), а Кохрен — строго с бинарным «да/нет». Фактически Кохрен — это частный случай для дихотомических данных.

Сколько человек нужно для Q-критерия Кохрена?

Жёсткого минимума нет, но при маленькой выборке (меньше ~15–20 человек) приближение к хи-квадрат становится грубым. Практический ориентир — хотя бы 4·k наблюдений, то есть от 12 человек при трёх замерах. О численности в целом — статья «Сколько респондентов нужно для диплома».

Что делать со «строками-константами»?

Если человек на всех этапах показал один и тот же результат (всё 0 или всё 1), он не вносит информации о различиях между этапами. На итог это влияет слабо, удалять такие строки специально не нужно — формула учитывает их корректно.

А если у некоторых людей есть пропуски?

Кохрен требует полных данных. Обычно человека с пропуском в любом замере удаляют целиком, а итоговый объём выборки указывают по оставшимся.

Какой шкалы должен быть признак?

Номинальной дихотомической: два взаимоисключающих исхода. Если интересно, какие бывают шкалы измерения, посмотрите статью «Шкалы измерения».

Короткий алгоритм

1. Признак бинарный (да/нет)? Если нет (баллы, ранги) → критерий Фридмана.
2. Замеров три и больше и это одни и те же люди? → Q-критерий Кохрена. Для двух замеров → критерий Макнемара.
3. Посчитайте суммы по столбцам (Gⱼ) и строкам (Lᵢ), подставьте в формулу, найдите Q.
4. Сравните Q с хи-квадрат при df = k − 1. Q больше критического (p < 0,05) → различия значимы.
5. Если значимо — сделайте попарные сравнения с поправкой Бонферрони.

Что ещё почитать

• Руководство по критерию Фридмана — «старший брат» для баллов и рангов на 3+ замера.
• Руководство по критерию хи-квадрат — когда группы независимы, а не связаны.
• Множественные сравнения и поправка Бонферрони — что делать после значимого результата.
• Как выбрать статистический критерий для диплома — общая схема выбора метода.
• Калькулятор критерия Фридмана и калькулятор хи-квадрат — посчитать смежные задачи онлайн.

Не уверены, какой критерий подходит вашим данным, — загляните в базу методов или закажите консультацию: эксперт подберёт метод и посчитает за вас.