Хи-квадрат или критерий Фишера (φ*): что выбрать

Вы работаете не с числами вроде роста или баллов, а с частотами: сколько человек справились, а сколько нет; кто выбрал вариант А, кто Б. И хотите доказать, что различие между группами не случайно.

Здесь спорят два метода — критерий хи-квадрат (χ²) Пирсона и угловое преобразование Фишера (φ)*. Оба про качественные данные, но решают разные задачи. Разберём, как не перепутать.

В двух словах

• Критерий хи-квадрат (χ²) анализирует таблицу сопряжённости — связь или различие в распределении частот сразу по нескольким категориям и группам. Универсален, но требует достаточных частот в ячейках.
• Угловое преобразование Фишера (φ*) сравнивает две группы по доле объектов с признаком «есть эффект / нет эффекта». Заточен под проценты и хорошо работает на малых выборках.

Простое правило: сравниваете две доли по признаку «да/нет» — берите φ*; разбираете таблицу с несколькими категориями или связь двух признаков — берите χ². Оба — не для средних и числовых измерений (для них смотрите как выбрать критерий).

Когда брать хи-квадрат (χ²)

Берите χ², если верно хотя бы одно:

1. У вас таблица сопряжённости r×c — строки и столбцы с несколькими категориями (например, 3 уровня мотивации × 2 группы).
2. Вы проверяете связь двух номинальных признаков (пол × предпочтение, тип темперамента × выбор профессии).
3. Категорий больше двух хотя бы по одному признаку — φ* здесь уже не подходит.

Пример. Вы сравниваете распределение студентов по трём уровням тревожности (низкий / средний / высокий) в контрольной и экспериментальной группах. Это таблица 3×2 → хи-квадрат.

Когда брать φ* Фишера

Берите угловое преобразование Фишера, если выполняется всё:

• сравниваете ровно две группы;
• признак дихотомический — «эффект есть / эффекта нет», «справился / не справился», «да / нет»;
• вас интересует именно доля (процент) объектов с признаком в каждой группе;
• выборка небольшая — φ* устойчиво работает там, где χ² уже «сыплется» из-за малых частот.

Пример. В экспериментальной группе задание выполнили 12 из 20 (60%), в контрольной — 5 из 18 (28%). Вопрос: значимо ли доля справившихся выше? Две группы, признак «справился/нет», проценты → φ* Фишера.

Чем отличаются по сути

• Хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты с ожидаемыми (теми, что были бы при отсутствии связи) и суммирует расхождения по всем ячейкам таблицы. Чем сильнее реальность отличается от «случайного» распределения, тем больше χ². Метод видит картину целиком, по всем категориям сразу.
• Угловое преобразование Фишера переводит доли в углы (то самое «угловое преобразование» φ), а затем смотрит, насколько далеко разошлись два угла с учётом размеров групп. Он отвечает на один точный вопрос: доля в одной группе достоверно больше, чем в другой?

Простая логика: χ² разбирает всю таблицу частот, φ* сравнивает два процента.

Что писать в дипломе

После расчёта сравнивают эмпирическое значение критерия с критическим:

• для χ²: если χ²_эмп ≥ χ²_крит — различие значимо;
• для φ*: если φ*_эмп ≥ φ*_крит (для p ≤ 0,05 это 1,64) — различие долей значимо.

Примеры формулировок:

• «Распределение уровней тревожности в группах различается статистически значимо (χ² = 9,8 при χ²_крит = 5,99; p < 0,05)».
• «Доля справившихся в экспериментальной группе значимо выше, чем в контрольной (φ* = 2,01 > 1,64; p < 0,05)».
• «Статистически значимых различий не выявлено (φ* = 1,12; p > 0,05)».

Как оформить таблицу

На таблицу в тексте ссылаются прямо: «Результаты сравнения долей представлены в таблице 1». Подпись таблицы ставят сверху.

Таблица 1 — Доля справившихся с заданием в двух группах (критерий φ* Фишера)

После таблицы — короткий вывод словами: «Доля справившихся в экспериментальной группе (60%) значимо выше, чем в контрольной (28%): φ* = 2,01 > φ*₍₀,₀₅₎ = 1,64; p < 0,05».

Сравнение методов

Чтобы окончательно развести два критерия, удобно держать перед глазами их различия (таблица 2).

Таблица 2 — Хи-квадрат и угловое преобразование Фишера: что отличается

Если данные сводятся к одной таблице 2×2 «две группы × да/нет» — подойдут оба, и тогда выбирают по удобству (об этом ниже).

Частые ошибки

• Брать χ² при ожидаемых частотах меньше 5. На малых выборках результат искажается — нужны поправка Йейтса или точный критерий Фишера.
• Считать φ* там, где категорий больше двух. φ* сравнивает только две доли по дихотомическому признаку; для трёх и более категорий — χ².
• Применять χ² или φ* к средним и числовым данным. Это критерии для частот качественных признаков, а не для роста, баллов или времени.
• Сравнивать сами числа справившихся, а не доли. При разном размере групп «12 против 5» ни о чём не говорит — сравнивать нужно проценты (60% против 28%).
• Путать угловое преобразование Фишера и точный критерий Фишера. Это разные вещи: φ* сравнивает доли, а точный критерий Фишера спасает таблицу 2×2 при очень малых частотах.

Частые вопросы

Чем угловое преобразование Фишера отличается от точного критерия Фишера?

Это два разных метода с похожим названием. Угловое преобразование (φ*) сравнивает две доли через перевод процентов в углы. Точный критерий Фишера — отдельный метод для таблиц 2×2, который применяют, когда у χ² ожидаемые частоты слишком малы (< 5).

Что делать, если в таблице 2×2 очень маленькие частоты?

Не использовать обычный χ². Берите точный критерий Фишера или χ² с поправкой Йейтса. Если задача — именно сравнить две доли, удобно сразу взять угловое преобразование Фишера: оно корректно на малых выборках.

Можно ли заменить χ² на φ* для таблицы 2×2?

Да, если у вас именно «две группы × да/нет». Тогда оба критерия отвечают на один вопрос, и можно взять любой — φ* часто удобнее на маленьких выборках. А вот при трёх и более категориях замена невозможна — нужен только χ².

Откуда берётся критическое значение 1,64 для φ*?

Это критическое значение углового преобразования для уровня значимости p ≤ 0,05. Для более строгого p ≤ 0,01 порог выше — 2,31. Если φ*_эмп превышает порог, различие долей считается значимым.

Хи-квадрат и φ* — параметрические критерии?

Нет, оба относятся к непараметрическим — они не требуют нормального распределения и работают с частотами. Подробнее о разнице — в статье «Параметрические и непараметрические критерии».

Сколько человек нужно для этих критериев?

φ* работает даже на совсем небольших выборках (от нескольких наблюдений в группе), что и делает его удобным для дипломов. Для χ² важно не столько общее число, сколько чтобы ожидаемая частота в каждой ячейке была ≥ 5.

Короткий алгоритм

1. Данные — частоты качественного признака? Если нет (числа, баллы, средние) — вам нужны другие критерии.
2. Сравниваете две группы по одной доле «да/нет»? → φ* Фишера.
3. Несколько категорий или связь двух признаков (таблица r×c)? → хи-квадрат.
4. В таблице 2×2 очень малые частоты (ожидаемые < 5)? → точный критерий Фишера или поправка Йейтса.

Что ещё почитать

• Руководство по критерию хи-квадрат — как считать и читать таблицу сопряжённости.
• Руководство по угловому преобразованию Фишера — пошаговый расчёт φ*.
• Как выбрать статистический критерий для диплома — общая схема выбора.
• Параметрические и непараметрические критерии — в чём принципиальная разница.
• Калькулятор хи-квадрат и калькулятор φ* Фишера — посчитать онлайн.

Не уверены в выборе — посмотрите базу методов или закажите консультацию: эксперт подберёт критерий и посчитает за вас.