Двухфакторный дисперсионный анализ (two-way ANOVA)

Иногда в дипломе на результат влияет не один фактор, а сразу два. Например, и программа тренировок, и пол спортсмена. Хочется проверить оба сразу — и заодно понять, не работает ли программа по-разному у мужчин и женщин.

Именно для этого нужен двухфакторный дисперсионный анализ. Он проверяет влияние каждого фактора по отдельности и их совместный эффект — одним расчётом.

В двух словах

• Двухфакторный дисперсионный анализ (two-way ANOVA) проверяет влияние двух факторов на один числовой показатель и их взаимодействие.
• Он даёт сразу три ответа: влияет ли фактор A, влияет ли фактор B и зависит ли эффект одного фактора от другого.
• Берут его, когда в дизайне исследования заложены два независимых фактора (пол, возраст, группа, метод) и числовой результат.

Это «старший брат» обычного однофакторного ANOVA: там фактор один, здесь — два.

Что такое фактор и уровни простыми словами

Фактор — это то, что мы меняем или по чему делим людей на группы. Уровни — конкретные варианты этого фактора.

Звучит сухо, поэтому сразу на примере.

Пример. Фактор «программа тренировок» имеет два уровня: обычная и интервальная. Фактор «пол» тоже два уровня: мужчины и женщины. Результат — прирост выносливости в баллах.

В двухфакторном анализе мы разбиваем всех участников на ячейки по сочетанию уровней. В примере выше ячеек четыре: мужчины-обычная, мужчины-интервальная, женщины-обычная, женщины-интервальная. В каждой ячейке — своя группа людей.

Факторы могут иметь и больше двух уровней. Например, «программа» из трёх вариантов и «возраст» из трёх категорий дадут уже 3 × 3 = 9 ячеек. Логика та же, просто таблица крупнее.

Главные эффекты и взаимодействие

Это сердце метода. Двухфакторный ANOVA отвечает на три вопроса сразу.

• Главный эффект фактора A. Влияет ли программа на результат, если усреднить по полу? То есть в среднем по всем участникам интервальная программа лучше обычной или нет.
• Главный эффект фактора B. Влияет ли пол на результат, если усреднить по программам? В среднем мужчины и женщины показывают разный прирост или одинаковый.
• Взаимодействие A × B. Зависит ли эффект программы от пола? Может, интервальная программа сильно помогает мужчинам, а женщинам — почти нет.

Главный эффект — это влияние фактора «в целом», в отрыве от второго фактора. Взаимодействие — это когда два фактора работают не по отдельности, а вместе, усиливая или гася друг друга.

Пример. Кофе бодрит, и спорт бодрит. Но кофе перед сном + тревога могут дать совсем не сумму эффектов, а резкий скачок бессонницы. Вот это «не просто сумма» и есть взаимодействие.

Когда нужен двухфакторный ANOVA

Берите его, когда одновременно верно:

1. Два независимых фактора. Например, метод обучения и курс; тип питания и пол; программа и квалификация.
2. Результат — числовой. Баллы теста, время, прирост показателя, рост, давление.
3. Вам интересно взаимодействие или вы хотите проверить оба фактора экономно, одним анализом.
4. В каждой ячейке есть наблюдения — желательно примерно поровну (это упрощает расчёт и трактовку).

Если фактор всего один (просто три группы) — нужен однофакторный ANOVA. А чтобы понять, сколько у вас вообще факторов и групп, загляните в статью «U, H или ANOVA — сколько групп».

Условия применения

Допущения те же, что и у обычного ANOVA, — это параметрический метод.

• Числовые данные. Не баллы порядковой анкеты в чистом виде, а измерения или шкальные суммы.
• Нормальность. Распределение внутри ячеек (точнее, остатков) близко к нормальному — проверяют критерием Шапиро-Уилка. Как это делать — в статье «Как проверить нормальность распределения».
• Равенство дисперсий. Разброс в ячейках примерно одинаков (тест Левена).
• Независимость. В каждой ячейке — разные люди, наблюдения не связаны между собой.

Как читать таблицу двухфакторного ANOVA

Главное отличие от однофакторного: в таблице не одна строка-фактор, а три содержательные строки — фактор A, фактор B и взаимодействие A × B. Плюс строка ошибки (внутригрупповая изменчивость) и общая.

Для каждой строки фактора считают своё значение F и своё p. Читать просто: смотрите на p в каждой строке.

• p < 0,05 в строке фактора → этот фактор влияет на результат.
• p < 0,05 в строке взаимодействия → эффект одного фактора зависит от уровня другого.
• p > 0,05 → влияния (или взаимодействия) нет, различия случайны.

Идея F та же, что в руководстве по ANOVA: это отношение «полезной» изменчивости (от фактора) к «шуму» внутри ячеек. Чем больше F, тем вероятнее, что эффект реален. Подробнее про сам показатель — в статье «Что такое p-значение».

Разбор примера с таблицей

Возьмём наш сюжет: пол (мужчины / женщины) × программа (обычная / интервальная), результат — прирост выносливости в баллах. В каждой из четырёх ячеек по 10 человек, всего N = 40.

Сначала средние по ячейкам и краям таблицы.

Таблица 1 — Средний прирост выносливости по ячейкам (баллы, по 10 человек в ячейке)

Уже из краёв таблицы видна картина: интервальная программа в среднем сильнее (9,25 против 5,75), мужчины в среднем прибавляют больше (9,0 против 6,0). Но обратите внимание: у мужчин интервальная программа дала рывок (6 → 12), а у женщин — почти нет (5,5 → 6,5). Это и есть подозрение на взаимодействие.

Теперь сводная таблица ANOVA, которую выдаёт расчёт.

Таблица 2 — Таблица двухфакторного дисперсионного анализа (N = 40)

Читаем по строкам: оба главных эффекта значимы (p < 0,001), и взаимодействие тоже значимо (p = 0,001). Степени свободы для каждого фактора здесь равны 1, потому что у каждого по два уровня (df = число уровней − 1).

Раз взаимодействие значимо, нагляднее всего показать его на графике средних.

Что писать в дипломе

Сначала опишите каждый эффект отдельно, со своим F, степенями свободы и p. Формат: F(df_фактора; df_ошибки).

Готовые формулировки по нашему примеру:

• «Выявлен значимый главный эффект программы тренировок (F(1; 36) = 24,5; p < 0,001): интервальная программа дала больший прирост, чем обычная (9,25 против 5,75 балла)».
• «Главный эффект пола также значим (F(1; 36) = 18,0; p < 0,001): мужчины в среднем прибавили больше женщин (9,0 против 6,0 балла)».
• «Обнаружено значимое взаимодействие факторов "программа × пол" (F(1; 36) = 12,0; p = 0,001): прирост от интервальной программы у мужчин (с 6,0 до 12,0) выражен сильнее, чем у женщин (с 5,5 до 6,5)».

А если взаимодействие не значимо, пишут так: «Взаимодействие факторов не достигло уровня значимости (F(1; 36) = 0,8; p = 0,38), то есть эффект программы одинаков для мужчин и женщин».

Частые ошибки

• Игнорировать взаимодействие. Это главная фишка метода. Если оно значимо, а вы пишете только про «средний эффект программы» — вывод вводит в заблуждение.
• Толковать главный эффект при значимом взаимодействии как универсальный. При значимом A × B фраза «программа в целом лучше» неточна: лучше она не для всех.
• Применять к баллам анкет и ненормальным данным. ANOVA параметрический; для рангов и порядковых шкал он некорректен.
• Сильно неравные ячейки. Когда в одной ячейке 3 человека, а в другой 30, расчёт усложняется, а выводы становятся шаткими.
• Путать два фактора с двумя замерами. Двухфакторный ANOVA — про два признака у независимых групп, а не про «до и после».

Частые вопросы

Чем двухфакторный ANOVA отличается от однофакторного?

Однофакторный смотрит влияние одного фактора, двухфакторный — двух сразу и плюс их взаимодействие. То есть из одного расчёта вы получаете три ответа вместо одного.

Что важнее — главные эффекты или взаимодействие?

Если взаимодействие значимо, начинайте с него: оно меняет смысл главных эффектов. Главные эффекты при этом всё равно приводят, но трактуют осторожно, отдельно по уровням.

Что значит, что взаимодействие незначимо?

Что факторы действуют независимо: эффект одного одинаков на всех уровнях другого. Тогда можно спокойно описывать главные эффекты как общие для всех.

Можно ли вместо двухфакторного сделать два однофакторных?

Можно, но вы потеряете информацию о взаимодействии и проведёте лишние тесты, накапливая ошибку. Один двухфакторный анализ и экономнее, и информативнее.

А если данные ненормальные или это баллы анкеты?

Строгого простого аналога two-way ANOVA для рангов в дипломах обычно не используют. Часто переходят к критерию Краскела-Уоллиса по объединённым группам или советуются с руководителем. Про выбор семейства методов — «Параметрические и непараметрические критерии».

Нужен ли постхок после двухфакторного ANOVA?

Если у фактора больше двух уровней и он значим, то да — попарные сравнения с поправкой уточнят, какие уровни различаются. При двух уровнях постхок не нужен: и так ясно, какая группа выше.

Короткий алгоритм

1. Убедитесь, что у вас два фактора и числовой результат, а группы независимы.
2. Проверьте условия: нормальность (Шапиро-Уилк) и равенство дисперсий.
3. Постройте таблицу средних по ячейкам и краям — прикиньте картину заранее.
4. Запустите расчёт ANOVA и получите F и p для фактора A, фактора B и взаимодействия.
5. Читайте по строкам: где p < 0,05 — там эффект есть.
6. Если взаимодействие значимо — опишите его в первую очередь, постройте график средних.

Если же на шаге 1 фактор оказался один — вам нужен не двухфакторный, а обычный однофакторный дисперсионный анализ. Это самая частая путаница на старте.

Что ещё почитать

• Дисперсионный анализ (ANOVA): полное руководство — база по однофакторному варианту.
• U, H или ANOVA — сколько групп — как понять, какой метод по числу групп и факторов.
• Множественные сравнения и поправка Бонферрони — постхок после значимого фактора.
• Размер эффекта (d Коэна, η²) — насколько велик найденный эффект.
• Калькулятор дисперсионного анализа — посчитать онлайн.

Не уверены, что выбрали верный метод, — загляните в базу методов или закажите консультацию: эксперт подберёт анализ под ваш дизайн и посчитает за вас.